- Yoneda Lemma는 어떤 object $X$에 대해서, 같은 category 안에 있는 모든 object로부터 출발해서 해당 object $X$로 가는 모든 morphism은 해당 object에 대한 정보를 완벽하게 담고있음을 증명한다.
- Formal하게 category의 object $A$는 Functor $\mathrm{Mor}(*, A)$에 의해 결정된다.
Statement of Yoneda Lemma
$\mathcal{C}$를 어떤 category라고 하자. $X$를 $\mathcal{C}$ 안의 object라고 하자.
Functor $h_X: \mathcal{C} \to \mathrm{Sets}$는 다음과 같이 정의한다.
그리고
를 만족한다.
Functor $h_X$는 $X$를 up to isomorphism으로 unique하게 결정한다.
Proof of Yoneda Lemma
(a) Category $\mathcal{C}$ 안에서 어떤 object $X’$를 선택해서 functor $h_{X’}$을 생각하자.
두 functor $h_X$와 $h_{X’}$ 사이에 natural transformation $\eta$를 생각하자. 그러면 아래 diagram을 commutative하게 만든다.
이 commutative diagram은 모든 object $A,B$와 morphism $f : A \to B$에 대해 성립한다.
$B = X$일 때, 왼쪽 위의 object는 $\mathrm{Mor}(X, X)$가 되며, 이 set에서 identity morphism $\mathrm{id}_X$를 선택할 수 있다.
위의 commutative diagram에 의해서 $\eta_X(\mathrm{id}_X) \circ f = \eta_A(\mathrm{id}_X \circ f) = \eta_A(f)$를 만족한다. 따라서 우리는 모든 object $A$와 morphism $f : A \to X$에 대하여
관계를 얻는다.
(b) 만약 $h_X$와 $h_{X’}$이 natural isomorphism이라면, 즉, $\eta_A$가 모든 $A$에 대해 bijection이라면,
$A = X’$ 일 때, $\eta_{X’}(f) = \eta_X(\mathrm{id}_X) \circ f$ for $f : X’ \to X$이고,
$\eta_{X’}(f) = \mathrm{id}_{X’} = \eta_X(\mathrm{id}_X) \circ f$인 $f$가 존재한다.
따라서, $f: X’ \to X$는 isomorphism이고, $X’$과 $X$는 isomorphic하다.
이것으로 Yoneda Lemma가 증명된다.
Universal Property와 관계
Category theory에서 initial object, final object, zero object, product, tensor product, fiber product, localization 과 같이 새로운 object를 만드는 과정은 universal property를 활용한다.
Universal property는 “새로운 object와 모든 object들과의 관계”를 정의함으로써 새로운 object를 up to unique isomorphism으로 유일하게 결정되도록 생성한다.
이런 현상이 일어나는 이유는 Yoneda Lemma로부터 알 수 있다. 어떤 object는 사실 모든 object와 해당 object와의 관계로 완벽하게 표현된다. 따라서 universal property는 Yoneda Lemma를 이해하면 자연스러운 과정으로 느껴진다.