결론

• Complex elliptic curve는 Line bundle의 section들을 통해서 projective embedding을 할 수 있다.
  • 이렇게 embedding된 object는 Weierstrass equation으로 표현된다.
  • projective space에서 irreducible equation으로 표현되는 점들의 집합을 \emph{projective variety}라고 부른다.
  • projective variety 중에서 group 구조를 가지는 것을 abelian variety라고 부른다.
• Projective embedding 상에서 group 연산은 Line bundle위에 존재하는 section의 zero들이 어떤 관계를 갖는지에 달려있다.
  • 앞서 본 예시에서 degree 3 Line bundle위에 존재하는 section의 zero들을 다 더하면 합이 고정되어있다.

질문들

Q. Complex field가 아닌 다른 field (e.g. finite field) 에서 abelian variety는 있는가? Q. Abelian variety가 주어졌을 때, Line bundle이란 어떻게 정의되는가? (hint. Sheaf) Q. Abelian variety가 주어졌을 때, 그 위에서 group 연산은 Line bundle과 항상 관련이 있나? (yes..)