Elliptic Curve Isomorphism의 의미

Elliptic curve를 \(E = \mathbb{C}/\Lambda\) 로 보면, $E$는 단순한 group이 아니라 complex manifold 구조를 가진 group이다.

• Group으로만 놓고 보면 두 elliptic curve $E_1$, $E_2$는 둘 다 torus 형태의 abelian group이다.
• 하지만 complex Lie group으로 보면 $E_1$, $E_2$가 항상 같은 것은 아니다.
• 차이는 group law 자체가 아니라 $\mathbb{C}$에서 내려오는 complex structure와 holomorphic structure에 있다.

즉 elliptic curve의 isomorphism은 단순히 group operation을 보존하는 bijection이 아니라, complex manifold 구조까지 보존하는 holomorphic map이어야 한다.